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Das Konzept der Unendlichkeit fasziniert und verunsichert die Menschen seit jeher. Die Idee, dass die Zeit unendlich lange fortbestehen wird oder dass das Universum tatsächlich unendlich groß sein könnte, ist schwindelerregend. Wissenschaftler ringen seit Langem um ein tieferes Verständnis der Unendlichkeit. Und ausgerechnet die Mathematik hat eine verblüffende Erkenntnis enthüllt, die alles auf den Kopf stellen sollte: Das Rätsel um die Superunendlichkeit. Es geht noch größer als unendlich. Denn es gibt nicht nur „die“ Unendlichkeit, sondern tatsächlich mehrere – und manche davon übersteigen unsere vertraute Vorstellung von Unendlichkeit bei Weitem. Wie kann etwas, das bereits endlos ist, plötzlich klein wirken? Das ist das Unendlichkeits-Paradoxon. Dieses „Super-unendlich“ entdeckte der Mathematiker Georg Cantor vor rund 150 Jahren und veränderte damit unser Verständnis von Unendlichkeit für immer. Doch keine Angst vor Mathe – wir brauchen hierfür nur einfache Überlegungen an simplen Zahlen.
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Quellen und mehr zum Thema:
Die Geschichte der Mathematik I von Albrecht Beutelspacher
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Das Konzept der Unendlichkeit fasziniert und verunsichert die Menschen seit jeher. Die Idee, dass die Zeit unendlich lange fortbestehen wird oder dass das Universum tatsächlich unendlich groß sein könnte, ist schwindelerregend. Wissenschaftler ringen seit Langem um ein tieferes Verständnis der Unendlichkeit. Und ausgerechnet die Mathematik hat eine verblüffende Erkenntnis enthüllt, die alles auf den Kopf stellen sollte: Das Rätsel um die Superunendlichkeit. Es geht noch größer als unendlich. Denn es gibt nicht nur „die“ Unendlichkeit, sondern tatsächlich mehrere – und manche davon übersteigen unsere vertraute Vorstellung von Unendlichkeit bei Weitem. Wie kann etwas, das bereits endlos ist, plötzlich klein wirken? Das ist das Unendlichkeits-Paradoxon. Dieses „Super-unendlich“ entdeckte der Mathematiker Georg Cantor vor rund 150 Jahren und veränderte damit unser Verständnis von Unendlichkeit für immer. Doch keine Angst vor Mathe – wir brauchen hierfür nur einfache Überlegungen an simplen Zahlen.
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SpaßTranskript
00:00Das Konzept der Unendlichkeit fasziniert und verunsichert die Menschen seit jeher.
00:07Die Idee, dass die Zeit unendlich lange fortbestehen wird oder dass das Universum tatsächlich unendlich groß sein könnte, ist schwindelerregend.
00:15Wissenschaftler ringen seit langem um ein tieferes Verständnis der Unendlichkeit.
00:19Und ausgerechnet die Mathematik hat eine verblüffende Erkenntnis enthüllt, die alles auf den Kopf stellen sollte.
00:24Es geht noch größer als unendlich.
00:27Denn es gibt nicht nur die Unendlichkeit, sondern tatsächlich mehrere.
00:31Und manche davon übersteigen unsere vertraute Vorstellung von Unendlichkeit bei weitem.
00:35Wie kann etwas, das bereits endlos ist, plötzlich klein wirken?
00:39Dieses Super-Unendlich entdeckte der Mathematiker Georg Cantor vor rund 150 Jahren und veränderte damit unser Verständnis von Unendlichkeit für immer.
00:48Doch keine Angst vor Mathe. Wir brauchen hierfür nur einfache Überlegungen an simplen Zahlen.
00:53Die einfachste Form der Unendlichkeit, die wir alle kennen, ist die der natürlichen Zahlen.
00:58Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen jeder von uns im Alltag zählt.
01:02Also 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter.
01:06Jeder weiß, dass man diese Zahlen im Prinzip unendlich lange weiterzählen kann.
01:10Es gibt kein Ende, sondern unendlich viele davon.
01:13Kurios wird es, wenn man sich nun nur die Geraden unter den natürlichen Zahlen anschaut.
01:18Davon gibt es offensichtlich ebenso unendlich viele.
01:21Auf der anderen Seite ist nur jede zweite natürliche Zahl eine Geradezahl.
01:26Damit ergibt sich die Frage, gibt es nur halb so viele Geradezahlen wie natürliche Zahlen, obwohl es von beiden unendlich viele gibt?
01:33Die Antwort auf diese Frage ist genauso einfach wie paradox.
01:37Ganz anschaulich betrachtet sind zwei Mengen gleich groß, wenn man eine eindeutige Zuordnung zwischen ihren Elementen finden kann.
01:43Nehmen wir zum Beispiel die Menge der Zahlen 1, 2 und 3 und die Menge der Buchstaben a, b und c.
01:49Dann können wir eine eindeutige Zuordnung zwischen den beiden Mengen finden.
01:53Die beiden Mengen sind also gleich groß.
01:55Sind zwei Mengen unterschiedlich groß, wie zum Beispiel die Menge 1, 2, 3 und die Menge a, b, c, d, dann existiert solch eine eindeutige Zuordnung nicht.
02:04Egal nach welchem System wir es versuchen, würde immer ein Buchstabe keiner Zahl zugeordnet werden können.
02:10Genau solch eine eindeutige Zuordnung lässt sich aber interessanterweise zwischen den Geraden und den natürlichen Zahlen finden.
02:17Dazu schreiben wir einfach die ersten paar natürlichen Zahlen untereinander.
02:20Dann multiplizieren wir jede Zahl auf dieser Liste mit 2 und schreiben das Ergebnis daneben.
02:25Rechts erhalten wir also eine Liste aller geraden Zahlen.
02:28Und damit sehen wir, zu jeder natürlichen Zahl gibt es exakt eine gerade Zahl.
02:34Wir haben also genau wie vorhin eine eindeutige Zuordnung zwischen den beiden Mengen gefunden.
02:38Und das führt uns zu dem erstaunlichen Ergebnis, dass obwohl nur jede zweite natürliche Zahl eine gerade Zahl ist, exakt gleich viele gerade wie natürliche Zahlen existieren.
02:49Wir sehen an diesem Beispiel, dass die beiden unendlich großen Mengen, obwohl die eine scheinbar doppelt so groß ist wie die andere, in Wahrheit gleich groß sind.
02:57Daraus folgerte Galileo Galilei bereits vor 400 Jahren, dass man unendlich große Mengen ihrer Größe nach nicht vergleichen kann.
03:05Er folgerte, dass es schlichtweg keinen Sinn ergeben würde, zu sagen, eine unendlich große Menge sei größer, gleich groß oder kleiner als eine andere unendlich große Menge.
03:14Intuitiv leuchtet uns das auch ein.
03:17Doch vor etwa 150 Jahren widerlegte der große Mathematiker Georg Cantor diese Schlussfolgerung von Galilei.
03:23Denn Cantor untersuchte nun die Menge der reellen Zahlen, also den gesamten kontinuierlichen Zahlenstrahl.
03:30Auf dem kontinuierlichen Zahlenstrahl gibt es offenbar ebenfalls unendlich viele Zahlen.
03:34Er enthält alle Zahlen, die wir uns irgendwie ausdenken und aufschreiben können, zum Beispiel 1, 2, 3 oder auch 7,51923.
03:44Das Besondere hier ist, dass wir ein beliebig kleines Intervall betrachten können, zum Beispiel von 0 bis 1 oder von 0 bis 0,1 oder ein noch viel kleineres.
03:54Und bereits auf diesen winzigen Intervallen finden wir unendlich viele Zahlen.
03:58Egal, wie weit wir in den Zahlenstrahl hineinzoomen, wir können immer noch ein kleineres Intervall wählen und innerhalb dieses Intervalls wird es immer noch unendlich viele Zahlen geben.
04:07Wählen wir dagegen ein begrenztes Intervall in den natürlichen Zahlen, dann enthält es immer nur endlich viele Elemente.
04:14Es ist absolut unmöglich, immer noch weiter in die natürlichen Zahlen hineinzuzoomen und dabei immer noch mehr Zahlen vorzufinden.
04:21Vielleicht gibt es also tatsächlich mehr reelle als natürliche Zahlen, obwohl von beiden unendlich viele existieren.
04:28Wenn es wie bei den natürlichen und den geraden Zahlen gleich viele von beiden gäbe, dann könnten wir wie vorhin eine eindeutige Zuordnung zwischen den beiden Zahlenmengen finden.
04:37Doch wie uns Cantor ganz leicht zeigte, kann eine solche Zuordnung zwischen dem kontinuierlichen Zahlenstrahl und den natürlichen Zahlen nicht existieren.
04:46Nehmen wir einmal an, es würde eine solche Zuordnung geben.
04:49Dann könnten wir zu jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl finden und diese beiden auf einer unendlichen Liste nebeneinander schreiben.
04:57Doch wie wir gleich ganz leicht sehen werden, wird es immer reelle Zahlen geben, die nicht auf dieser Liste stehen.
05:02Und somit ist es unmöglich, jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl zuzuordnen.
05:07Denn wir konstruieren jetzt einfach eine neue Zahl, die sich von jeder Zahl der Liste unterscheidet.
05:12Für die Stelle vor dem Komma wählen wir die 0.
05:15Jetzt nehmen wir die erste Zahl der Liste und nehmen für die erste Stelle unserer neuen Zahl anstatt der 4 eine 5.
05:22Unsere neue Zahl unterscheidet sich jetzt also von der ersten Zahl der Liste.
05:26Genauso machen wir es bei der zweiten Zahl.
05:28Wir betrachten die zweite Kommastelle, also die 6, und nehmen für unsere neue Zahl anstatt der 6 eine 7.
05:34Die neue Zahl unterscheidet sich also auch von der zweiten Zahl.
05:38Genauso gehen wir für jede Zahl unserer unendlich langen Liste vor.
05:42Damit erhalten wir offenbar eine neue Zahl, die sich von jeder Zahl auf der Liste unterscheidet.
05:47Diese Zahl kann also nicht auf unserer Liste stehen, obwohl die Liste unendlich lang ist.
05:52Und das heißt nichts anderes, als dass sich keine eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen finden lässt.
05:59Völlig egal, welche Zuordnung wir wählen, es gibt immer reelle Zahlen, die nicht auf der Liste stehen werden
06:04und somit keiner natürlichen Zahl zugeordnet werden können.
06:07Obwohl die Liste der natürlichen Zahlen bereits unendlich groß ist, gibt es also eine Unendlichkeit, die noch größer ist,
06:14nämlich die der reellen Zahlen.
06:16Es muss daher unterschiedlich große Unendlichkeiten geben.
06:20Das Verblüffendste ist, dass alle Zahlen, die wir auf diese Liste geschrieben haben, zwischen 0 und 1 liegen.
06:26Das führt uns zu dem absolut erstaunlichen Ergebnis, dass es bereits zwischen 0 und 1 mehr reelle Zahlen geben muss,
06:33als auf der gesamten unendlich langen Liste der natürlichen Zahlen.
06:37Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nennt man die abzählbare Unendlichkeit.
06:42Die reellen Zahlen hingegen könnte man nicht einmal zählen, wenn man unendlich viel Zeit dafür hätte.
06:47Daher spricht man hier von einer überabzählbaren Unendlichkeit.
06:51Mathematiker konnten schließlich beweisen, dass es noch mehr und noch größere Unendlichkeiten als diese beiden gibt.
06:57Heute weiß man, dass es unendlich viele verschieden große Unendlichkeiten gibt.
07:02Und zwar mindestens abzählbar unendlich viele.
07:05Dass das Universum tatsächlich unendlich groß sein und unendlich viele Sterne beherbergen könnte, ist schon eine überwältigende Idee.
07:13Doch wäre dies nur eine abzählbare Unendlichkeit?
07:16So enthält ein simpler Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 bereits mehr Zahlen, als es Sterne in einem unendlichen Universum gibt
07:24und offenbart somit eine noch tiefere und rätselhaftere Dimension der Unendlichkeit.
07:29Und doch lehrt uns Cantors Entdeckung, selbst das Unendliche hat Struktur.
07:33Und seine verborgene Architektur können wir mithilfe der Mathematik entschlüsseln.
07:38Auf die Frage, warum manche Menschen in Mathe besser abschneiden als andere, gibt die Wissenschaft eine höchst überraschende Antwort.
07:45Auffällig ist, dass Jahr für Jahr bestimmte fernöstliche Länder in internationalen Vergleichstests wiederholt am besten abschneiden.
07:52Während die Suche nach einem ethnisch bedingten Mathe-Gen vergeblich war, ermittelte Professor Bow von der Universität of Pennsylvania einen anderen Zusammenhang.
08:00Diese Rangfolge entspricht fast genau der Rangfolge der Länder, in denen die Schüler auch bei völlig anderen Aufträgen am längsten dran blieben.
08:07Diese antrainierte Konzentrationsfähigkeit kann durch kulturelle Unterschiede in der Erziehung interpretiert werden.
08:13Und auch andere Untersuchungen zeigen, ob Personen in Mathe immer besser werden oder nicht, wird vor allem durch die Fähigkeit ihrer Konzentrationssteuerung bestimmt,
08:21die nicht angeboren ist, sondern sich so stark verändern lässt, dass sich das zuständige Hirnareal verdünnt oder verdickt.
08:27Leider steht genau diese Aufmerksamkeitsspanne in Verdacht, durch moderne Unterhaltungselektronik immer weiter abzufallen.
08:34Die gute Nachricht ist, dass sich unsere Aufmerksamkeitssteuerung durch diverse Faktoren auch wahnsinnig gut verbessern lässt.
08:40Verdickt sich das zuständige Hirnareal, wird es immer leichter, sich länger zu konzentrieren.
08:44Wie das funktioniert, lernst du in der Lektion zur Aufmerksamkeitssteuerung von Modern Brain, von der du den ersten Teil im kostenlosen Testzugang anschauen kannst.
08:53Bei Modern Brain lernst du, dein Gehirn zu verstehen, um rasant zu lernen und deine Bildungswege mit Leichtigkeit zu durchlaufen.
08:59Zusammen mit exzellenten Hirnforschern und den Machern von 100 Sekunden Physik.
09:03Melde dich jetzt an auf modernbrain.de und tauche ein in die faszinierende Welt der Hirnforschung.