Catégorie
✨
PersonnesTranscription
00:00On soulève Lagrange-Camp, interpolation Lagrangienne, épisode 2.
00:04Dans l'épisode précédent, voire dans la description sur mon profil,
00:07on a parlé des Li2x construits de cette façon,
00:09qui forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré O plus N moins 1,
00:13quand on se donnait une famille de réels x1, xn distincts.
00:15Eh bien, cette famille x1, xn étant fixée,
00:18alors le théorème de Lagrange s'énonce comme suit.
00:20Pour tout B1, Bn dans R, le polynôme P2x défini par la relation
00:24somme pour i variant de 1 à n des Bi Li2x,
00:28où les Li2x sont comme ça,
00:30est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n moins 1
00:33qui vaut Bi en xi.
00:36En regardant la manière dont c'est construit,
00:37tu peux voir assez facilement pourquoi on a bien cette propriété.
00:40Déjà, on vaut Bi en xi parce que les LiX ont justement été construits
00:44pour qu'ils vaillent 1 en xi et 0 pour tous les autres xj.
00:48Donc si là, je l'applique en un xk, par exemple,
00:50on ne va pas prendre i puisque i est ici dans l'indice,
00:52si je l'applique en xk, eh bien, il n'y en a qu'un seul qui restera
00:55et j'aurai donc le Bk qui va rester fois 1 et tous les autres 0.
00:58J'aurai donc bien P de xk égale Bk.
01:01Et pourquoi ce polynôme est unique ?
01:02Propriété hyper intéressante.
01:04Bien sûr, on avait deux tels polynômes.
01:06En considérant le polynôme P1 moins P2,
01:08on n'a que ce nouveau polynôme,
01:10qui est de degré O plus n moins 1,
01:12puisque tous les deux le sont,
01:13s'annule pour tous les xi.
01:14x1, x2, tatatata, xn.
01:16Mais c'est un polynôme de degré O plus n moins 1
01:19qui s'annule en une valeur distincte.
01:21Donc nécessairement, c'est le polynôme nul
01:22et donc P1 est égal à P2.
01:24Ce polynôme est donc bien unique.
01:26Et de manière générale,
01:27n'importe quel polynôme de degré O plus n moins 1
01:30s'écrit de cette façon.
01:31Pour les mêmes raisons que tout à l'heure,
01:33les Li de xi vont tous se simplifier,
01:35sauf celui qui va laisser la valeur
01:37et j'aurai bien que P2 petit xk
01:39sera égal à P2 petit xk.
01:41Maintenant, propriété hyper importante et intéressante,
01:43les polynômes d'interpolation de Lagrange
01:45ont un lien avec les matrices de Vandermonde.
01:48Oui, oui, oui.
01:49J'explique ça dans une prochaine vidéo
01:50si tu bombardes les commentaires
01:51en lâchant un Vandermonde, c'est le boss.
01:54Allez, me déçois pas.
01:55Bisous.
01:55Sous-titrage Société Radio-Canada